Numerische Integration der Wärmeleitungsgleichung



Auswahl eines multicore-fähigen Simulationssystems

Simulationsrechnungen der Wärmeleitung in konkreten, strukturierten Geometrien auf der Basis von Finite-Elemente- bzw. Finite-Differenzenverfahren sind recht zeitaufwändig. Mit der Verfügbarkeit moderner Mehrkernprozessoren ergeben sich jedoch kostengünstige Möglichkeiten, solche Rechnungen in vertretbarer Echtzeit durchzuführen. Der Einsatz solcher Prozessoren macht jedoch nur dann einen Sinn, wenn die darauf einzusetzenden Programme diese auch parallelisiert nutzen können. Dies ist nicht grundsätzlich der Fall. Das ausgewählte PDE-Berechnungsprogramm wurde diesbezüglich auf einem kleineren zur Verfügung stehenden Dual-Core-Rechner getestet.

Nach Klärung der Parallelisierbarkeit des Problems steht nun ein Intel QuadCore-Prozessor mit 4 x 2,83 GHz Taktfrequenz und einem Hauptspeicherausbau von 8 GB zur Verfügung, der für die anstehenden Aufgaben absehbar ausreicht. Vergleichende Rechnungen auf nur einem und auf allen vier Kernen zeigten bei dem gewählten Simulationssystem eine Erhöhung der effektiven Echtzeit-Berechnungsgeschwindigkeit um einen Faktor ca. 3,6 für einen Gesamtlauf über 100 Zeitschritte. Somit werden die verfügbaren Rechenkerne optimal ausgenutzt. Diese gute Nutzung ist darauf zurück zu führen, dass beim Nachvollzug der zeitlichen Entwicklung sehr oft die fast gleichen Rechnungen mit nur leicht unterschiedlichen Anfangsrandbedingungen reiteriert werden müssen. Entsprechend fällt die für die sinnvolle Aufgliederung in Rechendomänen (s. nachfolgendes Bild) erforderliche initiale Simulation auf nur einem Kern zeitmäßig praktisch nicht ins Gewicht.

Multicore-Domänen
Multicore-Domänen bei der Wärmeleitungsberechnung: Nach einen Orientierungslauf des ersten Zeitschritts auf einem Prozessorkern wird die Gesamtzahl der Berechnungen in diesem Fall auf vier vorhandene Kerne eines Quad-Core-Prozessors aufgeteilt.

In der Abbildung ist auf der Oberseite der als (flach gelegte) Wand zu interpretierenden Quaderstruktur — Gebäudeinnenseite oben, -außenseite unten — die aufgelegte Heizplatte durch ihre Berandung zu erkennen. Die Berechnungsdomänen durchdringen sowohl Heizplatte als auch Wand.

Mit dieser Berechnungsmethodik wurde eine Systemkonstellation erarbeitet, die auch für die später erfolgende Konzeption des Gesamtmesssystems eingesetzt werden wird und als Grundlage genommen werden kann.

Gitterdefinition und -erzeugung

Für das Finite-Elemente-Verfahren muss im Berechnungsvolumen ein Gitter erzeugt werden, an dessen Stützpunkten die Wärmeleitungsgleichung numerisch ausgewertet wird.

Berechnungsgitter
Gitter variabler Dichte zur Simulation der Wandwärmeleitfähigkeit

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus einem solchen Gitter. Zu erkennen ist die Diskretisierung der flächigen Heizplatte, die auf die Oberseite der Wand (entspricht wiederum der Innenseite des Gebäudes) aufgelegt ist. Zum Ausgleich von Wandoberflächenunebenheiten wird die Wärme über ein Gelkissen in die Wand einkoppelt. Auf der Wandaußenseite wird der flächig aufgelöste Anstieg der Temperatur zeitaufgelöst (siehe unten) betrachtet. Da die Schichtdicken von Gelkissen, Basiswänden, Isolationsschichten und Deckputz recht unterschiedlich sind und sich entsprechend die Wärmeausbreitungseigenschaften darin ebenfalls unterscheiden, wird ein jeweils angepasstes, räumlich stark unterschiedlich dichtes Gitter erzeugt. Es ist so angelegt, dass alle auftretenden Schichten in ihrer Tiefe mindestens über 3 Verbindungsknoten abgebildet werden. In der obenstehenden Abbildung ist z.B. zu erkennen, dass die Diskretisierung der Wand weit weg vom Heizelement deutlich grober ausgelegt ist.

Vergleich Beton — Kalksandstein

Verglichen wurden zunächst Einfachwände aus Beton und Kalksandstein, sowie Wände aus diesen Grundbestandteilen mit aufgesetzten Lagen von Heraklith (als früher üblichem Wärmeschutzmaterial) bzw. Styropor, die jeweils mit einer dünnen Deckschicht aus Waschbeton als Verputz bewehrt werden. Beim Vergleich der beiden Einfachwände (siehe nachfolgende Animation), auf die zentral ein 1 x 1 m² großes Gelkissen als Heizelement aufgesetzt wurde, ist ein sehr unterschiedlicher Wärmedurchtritt erkennbar, der sich in einer unterschiedlich schnellen Nachweisbarkeit einer Temperaturerhöhung auf der Außenseite manifestiert. Die Heizplatte befindet sich in den dargestellten Sequenzen auf der Rückseite der Wand. Man schaut also auf eine Schnittkante und die Wandaußenseite.

Vergleich 1 Beton-Kalksandstein
Vergleich der Temperaturentwicklung bei einer Betonwand (oben) und einer Kalksandsteinwand (unten). Man beachte die unterschiedliche schnelle Wärmediffusion zur Außenwand hin.

Da einerseits bei den später erfolgenden Messungen eine außenkonvektionsbedingte vergrößerte Wärmeableitung von einer signifikant aufgeheizten Fläche nur schwer nachvollzogen werden kann, andererseits die ins Auge gefassten Thermofühler eine Temperaturauflösung von deutlich unter 0,1 grd haben, erscheint es sinnvoll, nur den anfänglichen Anstieg der Wandaußentemperatur zu verfolgen. Die Unterschiede in der konvektiven Wärmeableitung relativ zur nicht innenbeheizten Wand sind dann zu vernachlässigen. Während in den oben dargestellten Testrechnungen zur Verdeutlichung noch 2-grd-Intervalle durch Isolinien kenntlich gemacht werden, wird in nachfolgenden Versuchen und Rechnungen der Beobachtungsbereich auf Temperaturanstiege von ca. 0,5 grd begrenzt.